Ízelítő a könyvből

1. Számoljuk össze!

– Mi lenne, ha összeadnánk a pénzünket, vennénk egy csomó lottószelvényt, annyit, hogy biztosan legyen ötös találatunk?
A nagy nyeremény lehetősége mindenkit fellelkesített, de sehogyan sem tudták kiszámítani, hogy hány szelvényt kell ehhez kitölteniük. Segítsünk nekik!
Az emberek nagyon sok különböző módszert használnak a lottószelvényük kitöltésére. Lehet, hogy olyan is van, aki kimegy egy mezei futóversenyre, ahol 90-en indulnak, és az első öt helyezett rajtszámát tippeli. Számoljuk össze azt, hogy hányféle végeredménye lehet a versenynek, ha csak az első öt helyezettet vesszük figyelembe!
Első helyezett lehetett akárki a 90 közül. Bárki is lett az első helyezett, még mindig 89 lehetőség van a második helyezésre: Ha tehát csak az első és második helyezettet díjaznánk, akkor 80 x 90 lehetséges végeredményt kapnánk. Ha a harmadik helyezést is figyelembe vesszük, akkor az előző 90 x 80 lehetőség mindegyike 88 további lehetőséget takar, tehát az első három helyezett figyelembevétele esetén 90 x 89x 88 végeredmény lehetséges. Nyilván látjátok már, hogyan lehet továbbmenni; s végeredményül azt kapjuk, hogy 90 futó versenyében az első öt helyezettre 90 x 89 x 88 x 87 x 86 lehetőséget kapunk.
No, de mi köze ennek a lottózáshoz? Gondoljuk csak meg, hogy tippelhetjük éppen az első öt helyezett rajtszámát. Tehát a lehetséges végeredmények száma annyi, mint az első 90 számból kiválasztható számötösök száma. Ugyanez áll a lottószámokra is. Vagy talán nem egészen?! Beleestünk ugyanabba a hibába, amibe régebben Csaba esett bele a kézfogások összeszámolásakor, mert hiszen a versenyben az 5,9,42,69,28 számötös más végeredményt jelent, mint a 69,42,28,5,9 számötös, viszont a lottónál a kettő ugyanaz. Vagyis a versenyötösök közé minden lottóötöst többször beszámítottunk. Azt kellene megmondanunk, hogy hányszor. Nyilván annyiszor, ahányféleképpen a lottóötös számait sorba lehet rakni. De azt már az előbb kiszámoltuk, hogy ez éppen 120 (csak nem a lottóötös öt számát, hanem öt vendéget raktunk sorba). Tehát a kitöltendő lottószelvények száma, amelyek között biztosan van ötös találat: ( A megoldást a könyvben megtalálod!)

[…]

11. Biztosan ismeritek az anagrammakészítést; meg kell adni egy szót (például stílusosan azt, hogy KOMBINATORIKA), és ennek a betűiből értelmes mondatot vagy kifejezést kell összerakni. Kérdés mármost, hány anagrammát lehet alkotni egy szóra? Ha anagrammákat kezdetek gyártani, rögtön észreveszitek a kérdés pontatlanságát: nem fogtok egyetérteni abban, hogy mikor értelmes egy kapott mondat. Abban még mindenki egyetért, hogy a Népszabadság olvasója valóban felkiálthat így: NO, MA TABI-KROKI. Ezen krokik szerzője mondhatja: ROKONAIM TABIK. De ahhoz már külön állatmesét kell kitalálni, hogy szerepelhessenek MAKI-BARITONOK. Hogy az ilyen vitáknak elébe vágjunk, fogadjunk el minden anagrammát jónak; tehát azt se követeljük meg, hogy értelmes vagy akár kiejthető szavakból álljon. Persze így nem érdekes az anagrammakészítés; viszont annak a kérdésnek ekkor már van értelme, hogy hány anagramma készíthető egy adott szóból. Tehát:
Feladat: 41. Hány anagramma készíthető a KOMBINATORIKA szóból?

2. Kombinatorika a számtanban

A hatvanas években, Magyarországon egy 40 tanulóból álló osztályban a tanulók közül sokan gyűjtötték kedvenc beat zenekaraik fényképét. Az Illés-együttes fényképe 18 tanulónak, az Omegáé 16 tanulónak, a Metroé pedig 12 tanulónak volt meg. 7 olyan tanuló volt, akinek az Illés- és az Omega-együttes, 5 olyan, akinek az Illés- és a Metro-együttes, végül 3 olyan, akinek az Omega- és a Metro-együttes fényképe is megvolt. Olyan tanuló, aki mindhárom együttesről szerzett fényképet, 2 volt. Kérdés: hány olyan tanuló volt az osztályban, akinek három együttes egyikéről sem volt fényképe?