0 db
0 Ft
EN / HU
Felhasználó neve / E-mail cím

Jelszó

Elfelejtett jelszó
 
 
 
Megjelenés: 2000
Oldalszám: 144 oldal
Formátum: Fr/5, fűzve
ISBN: 978-963-9132-68-9
Témakör: Felsőfokon

Ára: 1120 Ft (Elfogyott)

Nemsztenderd analízis

Nemsztenderd analízis

Polygon IX. kötet 2. szám 1999.
A könyv első fejezete a következő történeti áttekintést nyújtja: a nemsztenderd analízis a végtelen kicsi és a végtelen nagy matematikai mennyiségek elmélete. A differenciál- és integrálszámítás felfedezése idején az infinitezimális, vagyis végtelenül kicsi mennyiségek jelentős szerepet játszottak, elsősorban Isaac Newton (1646-1727) fluxiós módszerében. Az ilyen ideális mennyiségekkel való számolás problémáit hamar felismerték: a differenciálhányados kiszámításakor a dx mennyiséggel egy ideig mint nem 0 értékkel számolunk, aztán hirtelen ráfogjuk, hogy 0. A kalkulus másik felfedezője, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), a helyzet tisztázására programot hirdetett meg, melynek célja a számfogalom olyan kiterjesztése volt, amelybe a végtelen kicsi és a végtelen nagy számok egyaránt beleférnek. Leibniz és követői végül is nem jártak sikerrel, és a múlt század végétől a „végtelen kicsi” csak illusztráció, a bizonyítások mind Bernhard Bolzano (1781-1848) és Kard Weierstrass (1815-1897) nevével fémjelzett "epszilon-deltás" határértékfogalmat használják. Századunk második felére a matematikai logika apparátusa megerősödött, és ezzel a Leibniz által kitűzött cél már elérhetőnek látszott. Különböző kezdeti próbálkozások után a valós számkör végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségekkel való konzisztens kiterjesztése végül is Abraham Robinsonnak (1918-1974) sikerült. Első, e témával foglalkozó Nonstandard Analysis című dolgozata 1961-ben jelent meg. A „nemsztenderd” jelző T. Skolem (1887-1963) egy még 1934-ből származó cikkére utal, melyben Skolem a természetes számoknak a szokásostól különböző, de attól belső eszközökkel (egészen pontosan elsőrendű formulákkal) megkülönböztethetetlen, úgynevezett nemsztenderd modelljét konstruálta meg. Robinson megmutatta, hogyan lehet az általa létrehozott eszközökkel az elemi analízist felépíteni, hogyan tulajdoníthatunk matematikailag pontos értelmet például annak a kijelentésnek, hogy „ha x végtelen kicsivel változik, akkor f(x) is”. Az analízis bevezető tételeinek igazolására kifejlesztette a „nemsztenderd technikát”, később a matematika sok más ágát is megvizsgálta abból a szempontból, hogy a nemsztenderd módszer hogyan vihető át ezekre a témakörökre. Kutatásainak eredményeit az 1966-ban kiadott Non-standard Analysis című könyvében foglalta össze, ami azóta a nemsztenderd analízis ;,bibliája”. Robinson könyvének legutóbbi, átdolgozott kiadása 1996-ból való. Csirmaz László könyve szintén sokat köszönhet Abraham Robinson e kitűnő munkájának; a szereplő témakörök, tételek és állítások jelentős része belőle származik.
Robinson felfedezése után igen lelkes és széles kutatómunka indult meg, aminek eredményeképp a nemsztenderd módszer megjelent az egyetemi, sőt helyenként a középiskolai oktatásban is. A kezdeti sikerek és lelkesedés alapján az új módszertől sokan annak lehetőségein felül remélték a sikereket. Az elmúlt évtizedek tapasztalata azt mutatta, hogy a nemsztenderd módszer nem valamiféle új csodaszer, aminek segítségével eddig megoldatlan problémák válnak egycsapásra megoldhatóvá, hanem legjobb esetben is csak másfajta látásmód, aminek segítségével az eddig igazságtalanul kidobott „végtelenül kicsi” és a „végtelenül nagy” elfoglalhatja a helyét a szigorú matematikai gondolkodásban.
Az epszilon-deltás fogalmak befogadása 16-20 éves korra tehető, ennek oka valószínűleg a kvantorok kettős mélységű egymásba ágyazódása: az f függvény folytonos az x pontban, ha minden pozitív e-hoz van olyan pozitív d, hogy ˝x–x'˝A könyv második és harmadik fejezetében a nemsztenderd analízis felépítéséhez szükséges logikai módszereket és tételeket ismerteti a szerző. Ebben kizárólag azokra a fogalmakra és tételekre szorítkozik, melyek feltétlenül szükségesek. A negyedik fejezet az „elemi analízissel” foglalkozik, a differenciál és integrál definícióival, sorozatok határértékeivel. A fejezet célja elsősorban a fogalmak gyakorlása, illetve a nemsztenderd módszer bemutatása. Az ötödik fejezetben a nemsztenderd módszer általános topologikus terek, a hatodikban metrikus terek tanulmányozására szolgál. A hetedik és nyolcadik fejezet a komplex függvénytan egy-egy részét dolgozza fel. Az utolsó három fejezet mutatja, hogy a nemsztenderd módszer nem csak triviális, hanem nehéz tételek esetén is jó szolgálatot tehet. Végül a függelékben A. L. Cauchy nevezetes, 1821-ből származó hibás állításáról van szó a nemsztenderd módszer fényében.
A nemsztenderd analízis egy másfajta látásmódot, a tételek, állítások új környezetbe helyezését jelenti. Nem bölcsek köve, nem lehet vele megváltani a világot, de érdekes új jelenségekre hívja fel az olvasó figyelmét.

 

Scharnitzky Viktor

Kapcsolódó recenziók

AJÁNLOTT KÖNYVEK