- 1. feladat F M
Azon tanulók száma, akik sem a matematikát, sem a
fizikát nem szeretik, nem
12
+
14
. A
26
mennyivel nagyobb?
- 2. feladat F M
Határozzuk meg az
A
1
,
…
,
A
n
által generált Boole-algebra
tetszőleges atomjának adalékát mindkét oldalon.
- 3. feladat F M
Legyen
S
=
{
1
,
…
,
n
}
és legyen
A
i
a
p
i
-vel osztható egészek halmaza.
- 4. feladat F M
Számoljuk le
k
adott elem leképezéseinek a számát az
n
adott elem halmazára.
- 5. feladat F M
p
−
σ
1
p
+
…
eltűnik
x
i
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
) esetén.
- 6. feladat F M
Tekintsük az
A
1
,
…
,
A
n
által generált Boole-algebra egy
B
atomjának az adalékát.
- 7. feladat F M
(a) Alkalmazzuk az előző eredményt.
(b) Használjuk fel, hogy
- 8. feladat F M
Összegezzük az előző probléma eredményeit
p
,
p
+
1
, …-re.
- 9. feladat F M
Ez az alábbi részletösszegekre vezethető vissza:
- 10. feladat F M
Mutassuk meg, hogy
- 11. feladat F M
Minden
J
⊆
{
1
,
…
,
n
}
halmazra,
- 12. feladat F M
Jelöljük
E
0
-val és
O
1
-gyel a független páros részhalmazok
halmazát, ill. azon páratlan részhalmazok halmazát,
melyek legalább egy élt kifeszítenek. Bizonyítsuk be
indukcióval az alábbi egyenlőtlenségeket
- 13. feladat F M
Ha
P
(
A
1
)
=
…
=
P
(
A
n
)
=
1
, akkor a
(
−
1
)
|
I
|
és
(
−
1
)
|
J
|
tagok
(
J
=
I
∪
{
n
}
)
kiesnek; a maradék tagok pedig
pozitívak.
- 14. feladat F M
(a) Használjuk 2.6. (b)-t. Egy alsó becslés a
következő:
ahol
λ
∅
=
0
,
λ
{
k
}
=
1
ha
1
≤
k
≤
n
és
λ
I
,
|
I
|
≥
2
esetén, tetszőleges valós szám.
- 15. feladat F M
Legyen
q
i
=
1
−
p
i
,
q
I
=
∏
i
∈
I
q
i
, és mutassuk meg, hogy
- 16. feladat F M
Legyen
P
(
A
K
)
=
p
K
+
R
K
, és
H
=
K
:
p
K
≥
1
M
. Minimalizáljuk az alábbi összeget:
és adjunk becslést
értékére ezen a helyen.
- 17. feladat F M
Legyen
M
=
x
∕
log
2
x
és legyenek
P
1
,
…
,
P
n
azok az
M
-nél nem nagyobb prímek, melyek nem
osztói
k
-nak. „Szitáljuk ki” az adott
sorozatból azokat a számokat, amelyek oszthatóak a
P
1
,
…
,
P
n
számok valamelyikével, a Selberg-féle
módszert használva.
- 18. feladat F M
Bizonyítsuk be
n
szerinti indukcióval, hogy
- 19. feladat F M
Legyen
ζ
az előforduló
A
i
-k száma. Használjuk a
Csebisev-egyenlőtlenséget:
- 20. feladat F M
Hasonlítsuk össze 2.19 eredményét a
Selberg-módszer becslésével; az utóbbit fejtsük
p
szerinti hatványsorba.
- 21. feladat F M
Csak az inverzre vonatkozó állítás igényel
meggondolást. Ehhez mutassuk meg, hogy az
(
a
i
j
)
mátrix akkor és csak akkor
invertálható, ha
a
i
i
≠
0
(
i
=
1
,
…
,
n
).
- 22. feladat F M
Mivel lesz egyenlő az
M
=
(
m
i
j
)
matrix, ahol
m
i
j
=
μ
(
x
i
,
x
j
)
?
- 23. feladat F M
μ
(
a
,
b
)
csak a
{
z
:
a
≤
z
≤
b
}
intervallum struktúrájától
függ.
- 24. feladat F M
Mutassuk meg, hogy a (
∗
) által definiált
μ
∗
kielégíti a
μ
definíciójában szereplő
azonosságokat.
- 25. feladat F M
Használjuk ki, hogy
(
Z
−
I
)
n
=
0
.
- 26. feladat F M
(A második részre) Válasszuk
V
-t az
{
1
,
…
,
n
}
összes részhalmazából álló halmaznak,
és legyen
- 27. feladat F M
Használjuk fel, hogy
- 28. feladat F M
Legyen
a
egy olyan atom, melyre
a
≤
x
és tekintsük a
egyenlőséget.
- 29. feladat F M
Bontsuk szét tagokra a
összeget aszerint, hogy
x
,
y
az
A
,
B
,
C
közül melyikbe esik.
- 30. feladat F M
(a) Használjuk 2.27-et és
n
szerinti indukciót. (b) Végezzünk
d
szerinti indukciót és írjuk fel az
Euler-féle formulát: ha
f
i
jelenti az
i
dimenziós lapok számát a
d
dimenziós konvex politópban (
f
−
1
=
f
d
=
1
), akkor
- 31. feladat F M
Legyen
Mi a kapcsolat az
F
=
(
f
i
j
)
és a
G
=
(
g
i
j
)
mátrixok között?
- 32. feladat F M
Használjuk az
{
1
,
…
,
n
}
halmazt, mely az oszthatóság szerint
van parciálisan rendezve, és 2.31-et, egy kis
változtatással.
- 33. feladat F M
Keressünk a
(
d
i
j
)
=
D
mátrixnak egy
D
=
Z
T
A
Z
alakú hasonló reprezentációját, úgy
mint a 2.32 megoldásában.
- 34. feladat F M
Írjuk fel
M
-et, mint
Z
−
I
polinomját, a 2.25-ben használt
eljáráshoz hasonlóan.
- 35. feladat F M
Jelöljük
q
k
(
x
)
-szel azon
R
-beli
k
-asok számát, melyeknek uniója
x
. Mutassuk meg, hogy
- 36. feladat F M
Használjuk a 2.29-beli azonosságot, az előző
feladatbeli meggondoláshoz hasonló módon.
- 37. feladat F M
Használjuk 2.27-t, és
r
szerinti indukciót.