Tartalom
Elég gyakran kerülünk olyan helyzetbe, hogy az
integrál (ahol pl.
Vonalak hosszúsága, területek és térfogatok nagysága, momentumok (forgatónyomaték, sűrűségek stb.), függvények átlaga és skalárszorzatai (pl. Fourier-együtthatók) mind integrál formájában fejezhetők ki.
Ezenkívül a differenciálegyenletek közelítő megoldása (ld. a II. és III. kötetet) is integrálok kiszámításával jár. A fizika megmaradási törvényei alapvetően integrálegyenletek alakjában vannak leírva (amelyek deriváltakat tartalmaznak); ezekből differenciálegyenleteket lehet levezetni, de numerikus megoldásuknál gyakran az integrálalakból indulnak ki.
A függvények bizonyos részét analitikusan lehet integrálni, de nem kapunk minden esetben közvetlenül kiértékelhető eredményt itt sem. Tipikus pl. az a helyzet, amikor integráltáblázatok segítségével, fáradságos átalakítások után (amelyeknek során nem is csekély a hibalehetőség) eléggé összetett kifejezésre jutunk, amelyben több speciális függvény is szerepel. Ezen függvények közül mondjuk az egyikre nincs meg a megfelelő táblázat, így a számítógépet kell, hogy használjuk – de megbízható programot sem találunk erre a függvényre.
Formula-manipulációs program segítségével ezeket a nehézségeket jelentősen csökkenthetjük. (Ehhez egyébként elég nagy tár szükséges, és a számítási idő sem lesz kicsi; fontos, hogy a munka végén ez a program ne csak a kész képletet adja meg, hanem az azt megvalósító programot is készítse el.) De korántsem minden integrál fejezhető ki analitikus alakban.
Ezért fennáll a kérdés: nem lenne jobb rögtön a numerikus integrálást alkalmazni, hiszen így sok munkaidőt takaríthatunk meg?
Válaszunk erre nem egyértelmű. Amennyiben ugyanis az analitikus integrálás nem túl bonyolult és könnyen kiértékelhető képletre vezet, ennek nagy értéke van. Egy-egy ilyen képlet értékét még gépidőbe is át lehetne számítani, ill. ez a gépidő a formulamanipulációs program miatt ismert; azzal a gépidővel is összevethetjük, amennyibe a képlet numerikus előállítása került volna. És ez nem kevés, amikor (ami tipikus) paramétereket tartalmazó integrandusokról van szó, tehát amikor az integrál többparaméteres függvény.
Ezenkívül a numerikus integrálás során célszerű,
amennyiben az integrandusnak szingularitásai vannak, a
szingularitások lényeges részét analitikusan integrálni
(ld.
5.9. pont). Ekkor viszont
elegendő bizonyos alapfüggvényekre koncentrálnunk, mint
például
Továbbá, mint bármely numerikus feladatnál, itt sem helyes az olyan álláspont, hogy először alkalmazzunk egy programot és nézzük, mi történik. Ha a program nem elég színvonalas, akkor a végén egy számérték van a kezünkben, de információ ennek hibájáról nincs; így ugyanolyan helyzetben vagyunk, mintha analitikus integrálást alkalmaztunk volna. Biztosak csak akkor lehetünk az eredményben, ha hibabecslés is készült, vagy ha több különböző módszerrel ugyanarra az eredményre jutottunk. Színvonalas program használatakor és valamivel bonyolultabb integrandus esetén gyakran olyan hibajelzést kapunk, amely arra késztet, hogy (amivel kellett volna kezdeni) a feladatot analizáljuk. Ez itt azt jelenti, hogy megvizsgáljuk, vajon az integrandusnak vannak-e szingularitásai (pólusai, ugrások), gyorsan oszcilláló részei, végtelen intervallum esetén: milyen gyorsan csökken nulla felé.
Egyébként az igény integrálok kiszámítására a numerikus integráláson belül is jelentkezik: ahhoz, hogy bizonyos integrációs képleteket létrehozzunk, integrálokat kell kiszámítanunk (ld. az (5.13) képletet az 5.4. pontban).
A numerikus módszerek szempontjából vannak további
érdekes, integrálokkal leírt összefüggések, mint pl. a
következő. Legyen
egyenlő
Hasonlóan érdekes az alábbi összefüggés. Legyen
mátrix inverze adja a