Numerikus módszerek I.

2002


Tartalom

Előszó
0. A gépi számítás jellegzetességei
0.1. Az egész számok
0.2. A lebegőpontos számok
0.3. Lebegőpontos számítás, kerekítés
0.4. Kondíciószámok, stabilitás, hibaterjedés
0.4.1. Hibák, kondíciószámok, algoritmusok, stabilitás
0.4.2. A kivonás hibaanalízise
0.4.3. A numerikus differenciálás
0.4.4. Másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámítása
0.4.5. Skalárszorzatok hibája
0.4.6. Determinánsok kiszámítása
0.4.7. Lineáris regresszió
0.5. A számítógépek felépítéséről és a párhuzamos számításról
0.6. Összefoglalás
0.7. Feladatok
1. Lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldása
1.1. Lineáris egyenletrendszerek eredete
1.2. Normák, kondíciószámok, becslések
1.3. Gauss-elimináció és LU-felbontás
1.3.1. A Gauss-elimináció
1.3.2. A Schur-féle komplementer
1.3.3. A Gauss-elimináció és az LU-felbontás viszonya
1.3.4. Domináns főátlójú mátrixok, M-mátrixok
1.3.5. Algoritmusok, műveletigény
1.3.6. Az LU-felbontás általános mátrixokra, főelem-kiválasztás
1.3.7. Az LU-felbontás stabilitása, hibaanalízise
1.3.8. Direkt módszerek szimmetrikus mátrixokra
1.3.9. Ritka mátrixok
1.3.10. A Gauss–Jordan-algoritmus
1.4. Összefoglalás
1.5. Feladatok
1.6. Lineáris egyenletrendszerek iterációs megoldása
1.6.1. Iterációs vagy direkt módszer?
1.6.2. Iterációs módszerek konvergenciája
1.6.3. Alapvető stacionárius iterációs eljárások
1.6.4. A Gauss–Seidel-iteráció változatai
1.6.5. Az inkomplett LU-felbontás
1.6.6. Az egyszerű iteráció; prekondicionálás
1.6.7. A Csebisev-iteráció
1.6.8. A konjugált gradiens módszer
1.7. Összefoglalás
1.8. Feladatok
2. A legkisebb négyzetek feladata
2.1. Bevezetés
2.2. Legjobb közelítés Banach- és Hilbert-terekben
2.3. A Gauss-féle normálegyenletek
2.4. Ortogonalizációs eljárások, QR-felbontás
2.5. A Householder-féle QR-felbontás
2.6. A szinguláris felbontás
2.6.1. A többértelműen megoldható legkisebb négyzetek feladata
2.6.2. A szinguláris felbontás létezése, struktúrája
2.6.3. Az általánosított inverz mátrix
2.7. További megoldási módszerek a legkisebb négyzetek feladatára
2.7.1. Szekvenciális és párhuzamos feldolgozás
2.7.2. A Givens-eljárás
2.7.3. Iterációs módszerek
2.8. Összefoglalás
2.9. Feladatok
3. Sajátérték feladatok
3.1. Sajátérték feladatok eredete
3.1.1. Stabilitási problémák
3.1.2. Rezgési és rezonancia problémák
3.1.3. Internetes oldalak rangsorolása
3.2. Elméleti tudnivalók
3.2.1. A sajátértékek és sajátvektorok alapvető tulajdonságai
3.2.2. A karakterisztikus polinomról
3.2.3. A sajátértékek lokalizációja
3.2.4. Becslések
3.3. A Jacobi-módszer
3.3.1. Leírás, konvergencia
3.3.2. Gyakorlati szempontok
3.4. Vektoriterációk
3.4.1. A hatványmódszer
3.4.2. Az inverz iteráció
3.5. A Householder-eljárás
3.6. QR-módszer és változatai; felezési algoritmus
3.6.1. A QR-módszer
3.6.2. A felezési módszer
3.7. További sajátérték feladatok
3.7.1. Általánosabb stabilitási problémákról
3.7.2. Az általánosított sajátérték feladat
3.7.3. Markov-láncok
3.8. Összefoglalás
3.9. Feladatok
4. Interpoláció és approximáció
4.1. Interpolációs feladatok keletkezéséről
4.2. Lagrange-interpoláció
4.3. Folytonos függvények approximációja Bernstein-polinommal
4.4. Az Hermite-féle interpoláció
4.5. Spline interpoláció
4.6. Négyzetes polinomiális közelítések
4.7. Trigonometrikus interpoláció, gyors Fourier-transzformáció
4.8. Ortogonális polinomok
4.9. Egyenletesen legjobb közelítés
4.10. Többdimenziós interpoláció és approximáció
4.10.1. Sík- és térgörbék interpolációja
4.10.2. Tenzorszorzat interpoláció
4.10.3. Szabálytalanul elhelyezkedő alappontok
4.11. Összefoglalás
4.12. Feladatok
5. Közelítő integrálás
5.1. Motiváció
5.2. Elemi kvadratúra képletek
5.3. Kvadratúra képletek konvergenciája
5.4. Interpolációs kvadratúra képletek
5.5. Összetett kvadratúra képletek
5.6. A Romberg-integráció
5.7. Gyakorlati szempontok
5.8. Gauss-integráció
5.9. Speciális integrandusok kezelése
5.10. Lobatto- és Kronrod-integráció
5.11. Többdimenziós integrálok kiszámítása
5.12. Összefoglalás
5.13. Feladatok
6. Nemlineáris egyenletek, egyenletrendszerek és szélsőérték feladatok
6.1. Motiváció
6.2. Gyökök létezéséről és számáról
6.3. Felezési módszer, egyszerű iterációk
6.4. A Newton-módszer és változatai
6.4.1. Leírás, konvergencia
6.4.2. Konvergenciarend, lokális konvergencia
6.4.3. A Newton-módszer változatai; gyakorlati szempontok
6.4.4. Monoton konvergencia
6.4.5. Egyenletrendszerek megoldása Newton-módszerrel
6.4.6. A Jacobi-mátrix közelítéséről
6.4.7. A Broyden-módszer
6.4.8. A folytatás módszere
6.5. Szélsőérték feladatok
6.5.1. Gradiens módszerek
6.5.2. Newton-eljárások
6.5.3. A Gauss–Newton-módszer
6.6. További nemlineáris feladatok és megoldási módszerek
6.7. Összefoglalás
6.8. Feladatok
7. Jelölések
8. Irodalom
8.1. Könyvek, folyóiratok
8.2. Internet-címek
9. Tárgymutató
9.1. Címszavak jegyzéke
9.2. Tételek, lemmák jegyzéke
9.3. Pszeudokódos algoritmusok jegyzéke

Az ábrák listája

1. a) Direkt hibaanalízis b) Inverz hibaanalízis
2. Hálózat áramokkal
3. LU-felbontás
4. Legjobb közelítés a maximumnormában: a) y b egyértelműsége b) y b többértelműsége
5. Legjobb közelítés az 3 Hilbert-térben
6. Householder-leképezés
7. Rugóval felfüggesztett test mozgása
8. Az A mátrix Gersgorin-körei
9. A Lagrange-interpoláció bázisfüggvényei ( n = 5 )
10. Bernstein-approximáció (adatok: x = ( 0 , 1 , 2 , , 9 , 10 ) , y = ( 0 , 5 , 4 , 2 . 5 , 2 . 5 , 4 . 5 , 3 , 5 , 3 . 5 , 3 , 3 . 5 , 2 ) )
11. A H i függvények (az elsőfokú spline bázisfüggvényei)
12. A köbös spline és a Lagrange-interpoláció összehasonlítása a Runge-példán
13. A T n Csebisev-polinomok
14. A simító spline és eltérése az adatoktól
15. a) a középpont-szabály b) a trapézszabály c) a Simpson-szabály
16. A kétpontos Gauss-képlet
17. A Newton-módszer mértani jelentése
18. A Newton-módszer viselkedése: x 1 , x 2 , x 3 : gyök; A: a Newton-lépés nem definiált; B: végtelen ciklus; a 1 , a 2 , a 3 : az egyes gyökök vonzási tartománya; b: szabálytalan viselkedés
19. A szelőmódszer mértani jelentése
20. A folytatás módszere