PARADOXONOK
2002. február 28-a, csütörtök 17.30
Helikon Könyvesház
(VI., Bajcsy-Zsilinszky u. 37.)
Előadó:
Csaba Ferenc
Felkért hozzászólalók:
Beney Zsuzsa
Geier János
Marton Éva
1. Hogy is van ez?
„Mielőtt bármit is mondanék, le kell szögeznem, hogy…”
„A korlátlan ideig érvényes Julius Meinl vásárlási utalványok beváltásának határideje 2000. december 31.”
„Ha valaki babonás, az balszerencsét jelent.”
„Rendíthetetlen optimista vagyok. Mi is lenne velünk optimizmus nélkül?”
A hazugságok fele, amelyeket rólam terjesztenek, igaz.
Korlátlan költségvetést biztosítottam számodra, s Te már túl is lépted!
Igazi előrelépés ez az Ismeretlenbe!
Tud-e az Úr, aki előtt nincs lehetetlen, olyan nehéz követ teremteni, amelyet Ő maga sem képes felemelni?
A falu borbélya az a férfi, aki pontosan azokat a falubeli férfiakat borotválja, akik nem maguk borotválkoznak. – És ha a borbély pontosan azokat borotválja, akik maguk borotválkoznak, akkor szakállas vagy simabőrű?
A formalista olyan ember, aki csak akkor tud megérteni valamit, ha az értelmetlen.
Egy párt választási programja egyetlen tézisből áll: „Semmi okod arra, hogy elhidd: a programunk minden tézise igaz.”
Az idő: pénz. Az idő minden sebet begyógyít. – A pénz tehát minden sebet begyógyít. [Leibniz: „Azonosak (…) azok, amelyeknek egyike mindenütt felcserélhető a másikkal, az igazság megőrzésével („salva veritate”). Különbözőek azok, amelyek nem azonosak, avagy a felcserélés nem mindenütt tehető meg.”]
A csábítás tuti receptje. Legyen első kérdésünk ez:
Ugyanazt válaszolod majd a második kérdésre, mint az elsőre?
Majd folytassuk így:
Meghívhatlak egy italra?
„A nők mind egyformák, csak az egyik ilyen, a másik olyan.” (Szerb Antal)
„Rendelkezésünkre áll az Iliász és az Odüsszeia, de arra semmiféle bizonyítékunk nincs, hogy ezeknek az eposzoknak a szerzője valóságos személy volt. – Ebben valamennyi szaktekintély egyetért: szó sem lehet arról, hogy mindkét művet teljes egészében ugyanaz a személy írhatta volna, kivéve persze, ha az illető olyan lángész volt, mint Homérosz.” (Joseph Heller)
„Óh, talán nem is olyan rossz, mint amilyennek hangzik.” (Mark Twain Wagner zenéjéről.)
2. Az irodalomelméleti paradoxonfogalom
A klasszikus példák kis jó- (vagy rossz-) indulattal annak a logikai következtetési formának a példái, amely szerint ha bizonyos p és q állításokra p-q és ~ p-q egyaránt fennáll, akkor q kétségbevonhatatlan (logikai) igazság:
„Akaszd fel magad, meg fogod bánni, ne akaszd fel magad, azt is meg fogod bánni (…)” [Sören Kierkagaard]
„Mért legyek én tisztességes? Kiterítenek úgyis!
Mért ne legyek tisztességes? Kiterítenek úgyis!”
[József Attila]
Persze nem mindegy, hogy mi az, ami kétségbevonhatatlan.
3. Prótagorasz és tanítványa
„Mesélik, hogy amikor [Prótagorasz] tanítványától, Euatholosztól kérte a fizetséget, az ezt mondta: »Hiszen még nem is nyertem pert!« – Mire Prótagorasz azt felelte: »Hát akkor ha ebben a mostani perlekedésben én győzök, azért kell fizetned, mert győztem; ha meg te győzől, akkor azért, mert pert nyertél.«” Hogyan okoskodott vajon a tanítvány, ha megállapodásuk szerint csak az első megnyert pere után kellett fizetnie?
4. A hazug és rokonai
A krétai Epimenidész a következőt állítja: „Minden krétai hazudik.” – És ha ezt állítja: „Amit ebben a pillanatban a krétai Epimenidész mond, nem igaz.” [„A kiknek be kell dugni a szájokat; a kik egész házakat feldúlnak, tanítván rút nyereség okáért, a miket nem kellene. Azt mondta valaki közülök, az ő saját prófétájok: A krétaiak mindig hazugok, gonosz vadak, rest hasak. E bizonyság igaz: annakokáért fedd őket kímélés nélkül, hogy a hitben épek legyenek.” (Tit. 1, 10-12.)]
Az ezen az oldalon vastag betűkkel írt mondat hamis.
„Amit most mondok, az vagy hamis, vagy semmi értelme nincs.”
Egy könyvbe az író rosszakarója a következőt jegyezte be: „A könyvben legalább egy hamis állítás olvasható.”
Szervác Makón: „Amit most Pongrác Jeruzsálemben mond, nem igaz.” Pongrác, Jeruzsálemben, ugyanakkor: „Amit most Szervác Makón mond, * igaz.” – És ha * helyén 'nem' áll?
Szervác: „Annak, amit Pongrác az X ügy kapcsán nyilatkozott, túlnyomó része hazugság.” Pongrác: „Amit Szervác az X ügyről mond, az utolsó szóig igaz.” – Tegyük fel, hogy Pongrác ezen kívül éppen ugyanannyi hamis, mint amennyi igaz kijelentést tett az ügyre vonatkozóan, Szervác pedig nem mondott semmi mást (vagy a fenti kivételével valamennyi, az X ügyre vonatkozó kijelentése igaz). – És ha Pongrác az X ügy kapcsán – a fentin kívül – tíz hamis és egy igaz kijelentést tett, de Szervácnak akadt néhány melléfogása is?
Bebizonyítjuk, hogy létezik a Mikulás. Jelölje a 'Létezik a Mikulás' állítást M, jelölje továbbá S a 'Ha S igaz, akkor M' mondatot. Tegyük fel, hogy S igaz. Akkor 'Ha S igaz, akkor M' igaz, vagyis: ha S igaz, akkor M. Ha tehát feltesszük, hogy S igaz, akkor levezethetjük, hogy M: beláttuk tehát, hogy ha S igaz, akkor M. A 'Ha S igaz, akkor M' állítás tehát igaz. Ezzel azonban – per definitionem – éppen azt állítjuk, hogy S igaz. Azt már tudjuk, hogy ha S igaz, akkor M. Tehát M. Q.E.D.
5. Akhilleusz és a teknős
A teknős versenyfutásra hívja ki a fürgelábú Akhilleuszt, aki nála tízszer gyorsabb; a hős elfogadja a kihívást, s ellenfelének 1 stadion előnyt ad. Mire Akhilleusz elér arra a pontra, ahonnan ellenfele indult, addig az is megtesz egy tized stadion távolságot, valamennyi előnye tehát marad. Akhilleusz villámgyorsan lefutja ezt is – ám a teknős újfent előrébb iszkol, ezúttal egy század stadionnyit. Mire Akhilleusz ledolgozza hátrányát, a teknős még mindig előtte marad: egy ezred stadion távolságra. És ez így megy a végtelenségig, a teknős előnye folyamatosan csökken, de soha nem fogy el: álljon ellenfele bármilyen jó futó hírében, képtelen őt megelőzni.
6. Szóritész-paradoxonok
Ha az alvó oroszlán bajuszából egyetlen szőrszálat kihúzunk, a bajusz attól még bajusz marad. Húzogassuk tehát csak bátran! [„A mennyiségi változás »átcsapása« minőségi változásba.”]
7. A meglepetés-dolgozat
A tanár fenyegető bejelentést tesz: „A jövő héten valamelyik nap meglepetésszerűen dolgozatot fogtok írni.” – Bonifác ekképpen töpreng magában: „Pénteken nem írathat meglepetésszerűen dolgozatot, hiszen ha csütörtökig nem írjuk meg, biztosak lehetünk benne, hogy pénteken fogjuk megírni – oda lenne a meglepetés. Ha azonban tudjuk, hogy nem pénteken fogjuk a dolgozatot megírni, akkor már csak négy nap jöhet szóba, amelyek közül - az előző gondolatmenetet követve - a csütörtököt is kizárhatjuk. De így… mindegyik napot kizárhatjuk.” A tanár már hétfőn BKV változik: „Vegyetek elő papírt és tollat…”
8. Választás
Valaki a következőt ígéri: az A dobozban – bárhogyan választunk - biztosan lesz 100 dollár; a B dobozban 10 000 dollár lesz - de csak akkor, ha irracionálisan választunk. Melyik doboz(oka)t válasszuk?
A Newcomb-paradoxon. Egy jós, aki mindeddig soha nem tévedett, választás elé állít bennünket: „Az A dobozba 100 dollárt tettem; a $B$ dobozban lévő összeg pedig attól függ, hogy mit gondolok, melyik dobozt fogod választani: ha jóslatom szerint csak a B dobozt választod, akkor abban 300 dollár van, ha viszont a varázsgömböm azt mondta, hogy mindkettőt kinyitod, akkor a B doboz üres.” - Miután ezt közli velünk, ránk bízza a választást. Melyik doboz(oka)t válasszuk?
Fogoly-dilemma. Szervácot és Pongrácot letartóztatják. Mindketten tudják a következőket: ha egyikük a másik ellen vall, a másik pedig hallgat, akkor az árulót felmentik, társa pedig 10 évet kap; ha mindketten vallanak, mindkettőjüket 5, ha mindketten hallgatnak, mindkettőjüket 1 évre zárják be. Szervác így gondolkodik: ha Pongrác beárult, jobban járok (5 évvel), ha én is ellene vallok, ha viszont hallgatott, akkor megint (és megint 5 évvel) jobban járok, ha ellene vallok. Mivel Pongrác is ugyanígy okoskodik, mindketten 5 évet kapnak, ez viszont 8 évvel rosszabb annál, mint amit „irracionálisan” hallgatva kaptak volna.
9. A szuperjáték
Nevezzük normál játéknak az olyan játékokat, amelyek mindig befejeződnek az ellenfelek véges számú lépése után. Legyen a szuperjáték az a játék, amelynek első lépésében a kezdő játékos mond egy normál játékot, a következő lépés e normál játék első lépése, az ez után következő a normál játék második lépése, stb. Normál játék-e a szuperjáték?
10.A Bertrand-paradoxon
Mi a valószínűsége annak, hogy egy kör véletlenszerűen kiválasztott húrja hosszabb lesz a körbe rajzolható szabályos háromszög oldalánál? Hosszabb lesz, ha felezőpontja a rá merőleges és őt felező sugár belső felére esik: a valószínűség tehát ?. - De: a húr hosszabb lesz, mint a szóban forgó szakasz, ha felezőpontja a fele akkora sugarú koncentrikus kör belsejébe esik. Mivel ez utóbbi kör területe az eredeti kör területének negyede, a valószínűség ?.
11. A Russell-paradoxon
A paradoxon alapja az a feltevés, miszerint bármely „tulajdonság” esetén létezik az a „halmaz”, amelynek pontosan az illető tulajdonságú objektumok az elemei. Tekintsük azt a tulajdonságot, amellyel x pontosan akkor rendelkezik, ha nem eleme önmagának, azaz amennyiben xEx. Ha most R az ilyen tulajdonságú objektumok halmaza, tehát R={x : x E x}, akkor R E R pontosan akkor áll fenn, ha R E/ R.
12. Richard-paradoxon
Tekintsük azokat a 0-nál nagyobb de 1-nél kisebb tizedes törteket, amelyek véges számú szóval definiálhatók, jelölje az ilyenek halmazát e; e halmaz elemei nyilván sorba állíthatók. Definiáljunk egy N számot a következőképpen: ha az e halmaz sorrendben n-edik elemének n-edik számjegye p, akkor legyen az N szám n-edik számjegye p+1 (illetve 0, ha p=9). Akkor N az e halmaz valamennyi elemétől különbözni fog. - Holott N-t az imént véges számú szóval határoztuk meg: N tehát eleme is e-nek, meg nem is.
13. A Berry-paradoxon
Bertrand Russell G. G. Berrynek, az oxfordi egyetem könyvtárosának tulajdonítja a legkisebb olyan pozitív egész szám, amely nem nevezhető meg kevesebb, mint harminc szótaggal problémáját. A szóban forgó számot viszont épp a fenti kifejezés nevezi meg - huszonkilenc szótag felhasználásával.
14. Grelling-paradoxon
Vannak olyan jelzők, amelyek „saját magukra” is alkalmazhatók: a 'rövid' szó például rövid; más jelzők, mint amilyen például az ötszótagú, nem ilyenek. Nevezzük az utóbbi típusú jelzőket heterologikusnak. Heterologikus-e a 'heterologikus'?
15. A Wang-paradoxon
A 0 kis szám. Ha n kis szám, akkor n+1 is az. Tehát minden (természetes) szám kis szám.
16. Miniac - MI házilag
Vegyünk egy ötforintost, ragasszunk az egyik oldalára 'igen', a másikra 'nem' feliratot. Kövessük az útmutatást:
Vegyük kézbe gépünket, és kérdezzünk „tőle” valamit! (Mondjuk: „Van-e élet a halál után?”)
Dobjuk fel!
Jegyezzük fel, mit „válaszolt”!
Gépünk vagy igaz, vagy hamis választ adott. De ezt is tudja!
Vegyük kézbe újra, s kérdezzük meg: „A mostani válaszod igazságértéke ugyanaz lesz, mint az előző kérdésre adott válaszodé?” [Igazságérték: az igaz és a hamis.]
A gép nyilvánvalóan elektronikus: egy ötforintosban igen sok elektron található.
17. Tanulságok?
„Még hogy egy ilyen kis rébuszért változtassunk a világképünkön? - kérdezheti az olvasóm.” [Jorge Luis Borges]
„Nekem az a tapasztalatom, hogy legyen bárki, bármilyen okos, a nyelvnél nem lehet okosabb.” [Nádas Péter]
18. Az utolsó mondat igaz.
