0 db
0 Ft
EN / HU
Felhasználó neve / E-mail cím

Jelszó

Elfelejtett jelszó
 
 
 
Kiadás: Kilencedik kiadás
Megjelenés: 2010
Oldalszám: 312 oldal
Formátum: A/5, kötve
ISBN: 978-963-2790-92-3
Témakör: Történet / filozófia
Sorozat: Magyar tudósok

Eredeti ár: 3100 Ft
Webshop ár: 1860 Ft

KOSÁRBA
Játék a végtelennel
Matematika kívülállóknak

Hogyan írjunk ismeretterjesztő remekművet?

Magyar Tudomány 2000. 8. szám – Könyvszemle
Hosszú idő múltán végre vállalkozott egy kiadó Péter Rózsa Játék a végtelennel című műve újbóli megjelentetésére. (7. kiadás!) Gondolom, sokan vagyunk úgy vele, hogy ezt a kis könyvet, a tőle kapott bepillantást a matematika művészetének műhelytitkaiba, fiatalkorunk nagy élményei között tartjuk számon, és örömmel látjuk, hogy az újabb nemzedékek fiai-lányai is kézbe vehetik. A szerző mindenekelőtt a matematikára „botfülűeknek” szánta ezt a munkáját. Úgy, ahogy Kodály nem hitt abban, hogy van igazán botfülű, énekre-zenére taníthatatlan gyerek, Péter Rózsa sem hitte el, hogy van olyan szépre-jóra, az emberi alkotás értékeire fogékony ember, akinek ne lehetne elmagyarázni, mi a matematikában a szép és az emberi. De a matematikában képzettebb olvasó is találhat olyan ötletet, gondolatmenetet ebben a könyvben, amely akár jó1 ismert tényeket is egészen új oldalról világít meg.
Számomra ilyen az, amit Péter Rózsa az aritmetika ellentmondásmentességének Gentzen-féle bizonyításáról elmond. A harmincas évek nagy matematikai eredményei közül talán ezt a bizonyítást emlegetik a legkevesebbszer, és még inkább ritka az, hogy valaki a tartalmi ismertetésére is vállalkozzon. Nem véletlenül; Gentzen bizonyításának eredeti publikációja [Mathematische Annalen 112 (1936), 493-565. o.] 72 oldalt tesz ki. Ennek legnagyobb része végeérhetetlen, meglehetősen egyszerű és ötlettelennek tűnő számolgatás, minek végeztével kiderül, hogy a természetes számok aritmetikájában az az állítás, hogy 1 nem azonos 0-val, nem vezethető le, így tehát az aritmetika ellentmondástalan (mert különben bármely formulája levezethető lenne). Gödel második nem-teljességi tétele (Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik and Physik 38 (1931) óta ismert volt, hogy a természetes számok elméletének nyelvén belül kifejezhető magának az elméletnek az ellentmondásmentessége, azaz van olyan, tisztán aritmetikai formula, amely akkor és csak akkor igaz, ha az egész elmélet ellentmondásmentes; azonban ez a formula nem bizonyítható az elméleten belül (kivéve azt az esetet, ha nem igaz, azaz az aritmetika elmélete ellentmondásos, azaz bármi levezethető benne). Gentzen azt mutatta meg, hogy az aritmetikán belül formalizálható eljárásoknál nagyon kevéssel erősebb eszközökkel már bizonyítható az ellentmondásmentesség. Az eredmény jelentősége kétségtelen, ennek ellenére cikkének bevezetőjében, látva a bizonyítást, maga Gentzen is szükségesnek érezte, hogy védekezzék a trivialitás vádja ellen. Magam egyszer kerítettem sort – tanítványaim kérésére – ennek a bizonyításnak a bemutatására; meglehetős csalódást okoztam vele, mert mire a végére értem, senki sem értette, mi itt a poén (én magam sem). Kicsit megvigasztalt, hogy közben alkalmam volt egy egészen kiemelkedő logikussal beszélgetni a dologról, aki elmondta, hogy ő is hasonlóan van vele. Sajnos nem emlékeztem viszont a Játék a végtelennel-re, mert ezt a könyvet vagy húsz évvel annak előtte, gimnazistaként olvastam; most, újraolvasva „esett le a tantusz”. Igen, Péter Rózsa magyarázata a Gentzen-bizonyításról jobban megvilágítja, mi is itt a lényeg, mint Gentzennek magának a kiegészítő okfejtései. Ilyen magyarázatok persze nem pótolják magát a bizonyítást; senkinek nem támad az az érzése a könyvet olvasva, hogy most már tulajdonképpen ő is be tudná bizonyítani a tételt. Azt viszont joggal érezheti a laikus olvasó is nemcsak ebben az esetben persze –, hogy megértette, igazából miről van szó. Belelátott a matematikus titokzatos és érthetetlennek tűnő gondolkodásmódjába, és ez a könyvecske tulajdonképpeni célja.
Ha kételkedünk benne, vajon ma is ki tudja-e fejteni Péter Rózsa műve azt a hatást, amit húsz, harminc vagy ötven éve tett, akkor itt, a célja körül találhatunk optimista választ. Nem olyan értelemben ismeretterjesztő ez a könyv, hogy a matematikának mindenáron a legújabb eredményeivel akarná megismertetni az olvasót. Azok az eredmények, melyekről Péter Rózsa a könyv vége felé ír, a könyv megírásakor, 1943-ban ugyan a legújabbak közé tartoztak, de ma már nem újdonságok, sőt, már az a fontos eredmény is bekerült a „régóta” közismertek közé, amelynek említésével a szerző az 1969-es kiadásban egészítette ki művét (ez volt az utolsó, amit még ő revideálhatott). De amivel kezdi a könyvet, az egész számok összeadása vagy a legegyszerűbb területszámítások, már a megíráskor sem azért kerültek bele, mert valami szenzációs újdonságot jelentettek. Még azt sem feltételezte a szerző a matematikától leginkább idegenkedő olvasóiról sem, hogy ne tudnának összeadni, szorozni, vagy kiszámítani a négyzet területét. Ezt megtanultuk az alsófokú iskolában; a Játék a végtelennel viszont arról szól, amit nagyon sokszor nem tanulunk meg matematikai ismereteinkkel együtt, se alsó, se középső, se felső fokon: az alkotó ember gondolkodásmódját, aki itt és most történetesen matematikus, de lehetne zenész, mérnök vagy futballista is.
Péter Rózsa azt a furcsa és hihetetlen, de nagyon megindokolt állítást sugallja, hogy már a legegyszerűbb számtan és mértan is ugyanannak a gondolkodásmódnak a gyümölcse, mint ami a modern algebra, halmazelmélet, logika legújabb vívmányaihoz eljuthatott. Már Platón tudta, hogy a matematikának akár az (akkor) legmeglepőbb eredményeit is kitalálhatja bárki; de megérteni még a legegyszerűbbet is csak úgy lehet, ha a kitalálás útját újra végigjárjuk. Péter Rózsa nem számolni akar újra megtanítani; azt mutatja meg, hogy a „hogyan lehetne kiszámolni?” éppen olyan megoldásra váró kérdés, mint Fermat nevezetes sejtése (melynek bizonyítása a könyvben még eldöntetlen kérdésként szerepel, hiszen csak 1994-ben sikerült több mint háromszáz év után bizonyítani a helyességét). Hilbert, Gödel vagy Gentzen kutatásai, melyekben maga a matematikai elmélet válik matematikai vizsgálat tárgyává, úgyszintén nem azért kerültek a könyvbe, mert a szerző a legfrissebb eredményekről akart tudósítani. Nem, Péter Rózsa azért tartotta fontosnak, hogy ezekről is írjon, mert különösen szép példáját látta bennük annak, mire képes a matematikai szigor által szabályozott, de gúzsba egyáltalán nem kötött alkotó fantázia.
Péter Rózsa tehát nem ismereteket akart átadni, hanem gondolkodásmódot. Nem akarta elhitetni az integrálni vagy a Gödel-számozást kezelni, használni nem képes olvasóval, hogy igazából, egészében már ő is tudja, a részletek pedig nem is olyan érdekesek. Nem félműveltséget terjeszt, mint az ismeretterjesztő irodalom, vagy a vele rokon, nem céhbeliek használatára szánt, de tudományról szóló munkák sajnos oly gyakran. Aki csak innen tud a Gödel-számozásról, aligha fogja megkísérelni, hogy maga is lefordítsa az aritmetika szimbólumairól és tételeiről szóló állításokat természetes számokról szóló állításokra. De azt meg fogja érteni, hogy Gödel nevezetes tétele az ilyen fordítás lehetőségén múlik.
Fontos természetesen az is, hogy egy-egy tudományág eredményeiről – legalább az igazán fontosakról, legalább a világképünket is befolyásolóakról – informáljuk az illető ágazatban otthon nem lévő olvasót. Péter Rózsa könyvének egyik vonzereje kétségkívül az volt, hogy egy olyan ágazat világhírű művelőjeként, amely éppen a könyv készültének időszakában sorra ontotta az ilyen súlyú eredményeket, első kézből, hitelesen, és képletek nélkül is pontosan beszélve tudott beszámolni arról, mi is történt. Nem avult el a könyv ebben a vonatkozásban sem; lehet, hogy a további kiadásokat ki kell majd egészíteni néhány lábjegyzettel arról, mi is történt azóta (ez egy-két helyen most sem ártott volna!), de Hilbert programja a matematikai „tiszta ész önkritikája” megalkotására (ahogy Péter Rózsa fogalmaz) még alighanem igen sokáig fontosnak fog számítani. De amire Péter Rózsa vállalkozik, az talán még merészebb, mint az említett alkotások: megváltoztatni a matematikáról alkotott képét azoknak (és milyen sokaknak!), akik szerint a matematika művelése és alkalmazása száraz, a kívülálló számára érthetetlen, embertelen és kényszerektől szabályozott tevékenység. Nem, az a matematika, amit ez a könyv bemutat, mindenekelőtt játék, kalandos és merész játék, azonfelül emberi alkotás és magán viseli alkotóinak emberi arcát, ennélfogva szép is, érthető is. Nem érti senki sem egymaga minden részletét, ahogy olyan ember sincs, aki a világ irodalmának összes nagy alkotásához közel tud kerülni. Nemcsak időnk végessége, hanem alkatunk is határokat szab. De nincs a matematika épületében egyetlen rejtett zug vagy titkos szoba se, ahová csak a beavatottak léphetnek. Minden ajtaja nyitva áll, csak legyen elég kalandvágy bennünk, hogy oda is benézzünk.
Nem véletlenül említettem előbb az irodalmat, annak ellenére, hogy ha párhuzamot akarok vonni a matematika és valamely művészet között, akkor nekem is, mint másoknak, előbb jutna az eszembe a zene, mint az irodalom. Péter Rózsa azonban az irodalommal különösen bensőséges kapcsolatban volt, és ezt nemcsak a könyvében található számos utalás, nemcsak a kiváló stílus bizonyítja, hanem elsősorban az, ahogy a könyv olvasói számára a matematikáról mesélő sorok közül kibontakozik egy irodalmi szinten megfogalmazott önarckép: a tanítóé és egyben örök tanulóé, aki ugyanolyan kíváncsian és csodálkozva képes tekinteni a számrendszerek vagy a sokszögek „titkaira”, mint a legújabb matematikai nyelvészet ötleteire, de egyben ugyanolyan barátságos ismerősként kezeli a valós analízis vagy a halmazelmélet bonyodalmait, mint a számtani sorok összegzését vagy a kombinatorika alapelemeit.
Máté András

Kapcsolódó recenziók

AJÁNLOTT KÖNYVEK